题目

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x²的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数y=g(x)=3-

5

x

不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数y=h(x)=

(a2+a)x-1

a2x

（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．

答案

（1）∵y=x²在区间[0，1]上单调递增．（2分）
又f（0）=0，f（1）=1，∴值域为[0，1]，∴区间[0，1]是y=f（x）=x²的一个“和谐区间”．（4分）
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函数y=3-

5

x

在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则

解析 相关题目 对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在 已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（ 已知f（x）是定义在实数集R上的奇函数， 已知f（x）为偶函数，且f（2+x）=f（2-x 下列四个结论：（1）函数f（x）=x- f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）=-f（x 已知函数f（x）的定义域为I，导数fn（x）满足 已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．（ 已知函数f （x）=ex，g（x）=lnx，h（ 已知a＞1，函数f（x）=loga（x2-ax+ 闽ICP备2021017268号-8