题目

设函数f（x）=x|x-a|，若对于任意的x₁，x₂∈[2，+∞），x₁≠x₂，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0恒成立，则实数a的取值范围是______．

答案

由题意知f（x）=x|x-a|在[2，+∞）上单调递增．
（1）当a≤2时，
若x∈[2，+∞），则f（x）=x（x-a）=x²-ax，其对称轴为x=

a

2

，
此时

a

2

＜2，所以f（x）在[2，+∞）上是递增的；
（2）当a＞2时，
①若x∈[a，+∞），则f（x）=x（x-a）=x²-ax，其对称轴为x=

a

2

，所以f（x）在[a，+∞）上是递增的；
②若x∈[2，a），则f（x）=x（a-x）=-x²+ax，其对称轴为x=

a

2

，所以f（x）在[

a

2

，a）上是递减的，因此f（x）
在[2，a）上必有递减区间．
综上可知a≤2．
故答案为（-∞，2]．

解析