题目

已知函数f(x)=x+

1

x

：
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）在区间（1，+∞）上的单调性．

答案

（1）函数f(x)=x+

1

x

为奇函数，理由如下：
由已知函数的解析式f(x)=x+

1

x

可得函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称
又∵f(-x)=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f（x）
∴函数f(x)=x+

1

x

为奇函数
（2）f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，理由如下：
任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞1，x₁•x₂-1＞0，
又∵f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-（x2+

1

x2

）=x1-x2+

1

x1

-

1

x2

=x1-x2-

x1-x2

x1•x2

=(x1-x2)•(1-

1

x1•x2

)=(x1-x2)•

x1•x2-1

x1•x2

∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．

解析