题目

设函数f（x）=-cos²x-4tsin

x

2

cos

x

2

+2t²-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求函数g（t）的表达式；
（2）判断g（t）在[-1，1]上的单调性，并求出g（t）的最值．

答案

（1）因为函数f（x）=-cos²x-4tsin

x

2

cos

x

2

+2t²-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，
所以f（x）=sin²x-2tsinx+2t²-3t+3=（sinx-t）²+t²-3t+3
g（t）=f（x）_min=f（t）=t²-3t+3
（2）g（t）=t²-3t+3=（t-

3

2

）²+

3

4

，其对称轴为t=

3

2

，开口向上，
所以g（t）在[-1，1]上的单调性为单调递减，
g（t）_min=1
g（t）_max=7

解析