题目

函数f（x）满足：（1）定义域是（0，+∞）；（2）当x＞1时，f（x）＜2；（3）对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．则
（1）求出f（1）的值；
（2）写出一个满足上述条件的具体函数；
（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明．

答案

（1）由题意对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
令x=y=1，可得f（1）=2f（1）-2∴f（1）=2
（2）f(x)=log

1

2

x+2
（3）设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1
由已知x＞1时，f（x）＜2可得，f(

x2

x1

)＜2
∴f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)-2＜2+f（x₁）-2=f（x₁）
即f（x₂）＜f（x₁）
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递减

解析