题目

设f(x)=

1-x2

1+x2

(x∈R)
（1）求证：f(

1

x

)=-f(x)，(x≠0)；
（2）求值：f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)+f(

1

3

)+f(

1

4

)+f(

1

5

)+…+f(

1

2008

)．

答案

（1）因为f(

1

x

)=

1-( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

x2-1

x2+1

，f(x)=

1-x2

1+x2

，（4分）
所以f(

1

x

)=-f(x)，(x≠0)；（6分）
（2）由（1）知f(

1

x

)+f(x)=0（3） （8分）
所以f(1)+f(2)+f(3)++f(2008)+f(

1

3

)+f(

1

4

)+f(

1

5

)++f(

1

2008

)．
=f（1）+f（2） （12分）
=0+

-3

5

=-

3

5

（14分）．

解析