题目

定义在R上的函数f（x）满足：f(x+2)=

1-f(x)

1+f(x)

，当x∈（0，4）时，f（x）=x²-1，则f（2011）=______．

答案

由题意知，定义在R上的函数f（x）有 f(x+2)=

1-f(x)

1+f(x)

，
则令x=x+2代入得，∴f（x+4）=

1-f(x+2)

1+f(x+2)

=

1- 1-f(x) 1+f(x)

1+ 1-f(x) 1+f(x)

=f（x），
∴函数f（x）是周期函数且T=4，
∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3），
∵当x∈（0，4）时，f（x）=x²-1，∴f（3）=8．
即f（2011）=8．
故答案为：8．

解析