题目

已知函数f（x）=x³+x．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）判断函数f（x）的单调性，并说明理由．

答案

（1）显然函数f（x）的定义域为R；（2分）
（2）函数f（x）为奇函数．（3分）
因为f（-x）=（-x）³+（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），（6分）
所以f（x）为奇函数．（7分）
（3）函数f（x）在R上是增函数．（8分）
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁³+x₁）-（x₂²+x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+（x₁-x₂）=(x1-x2)[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

22

+1]（10分）
由x₁＜x₂，得x₁-x₂＜0，(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

22

+1＞0，（11分）
于是f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．（12分）
所以，函数f（x）在R上是增函数．

解析