已知定义域在R上的单调函数y=f（x），存在实数

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知定义域在R上的单调函数y=f（x），存在实数x0，使得对于任意的实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且对任意正整数n，有an=

1
f(n)
，bn=f（
1
2n
）+1，记Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，求an与Tn；
（3）在（2）的条件下，若不等式an+1+an+2+…+a2n＞
4
35
[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求实数x的取值范围．

答案

（1）令x1=x2=0，得f（0）=f（x0）+2f（0），∴f（x0）=-f（0）①
令x1=1，x2=0，得f（x0）=f（x0）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）②
由①②得f（x0）=f（1）
又∵f（x）是单调函数，
∴x0=1；
（2）由（1）可得 f（x1+x2）=f（1）+f（x1）+f（x2）+1
则f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2
又∵f（1）=1
∴f（n）=2n-1（n∈N*），
∴an=

1
2n-1

∵f（1）=f（
1
2
+
1
2
）=f（
1
2
）+f（
1
2
）+f（1），
∴f（
1
2
）=0，∴b1=f（
1
2
）+1=1
∵f(
1
2n
)=f(
1
2n+1
+
1
2n+1
)=2f(
1
2n+1
)+f(1)=2f(
1
2n+1
)+1
∴2bn+1=2f(
1
2n+1
+
1
2n+1
)=2f(
1
2n+1
)+2=f(
1
2n
)+1=bn
∴bn=(
1
2
)n-1
∴Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1=
2
3
[1-(
1
4
)n]
（3）令F（n）=an+1+an+2+…+a2n
则F（n+1）-F（n）=
1
4n+1
+
1
4n+3
-
1
2n+1
＞0
当n≥2时，F（n）＞F（n-1）＞…＞F（2）=a3+a4=
12
35

∴
12
35
＞
4
35
[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]
即log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)＜2
∴

解析

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