题目

函数f(x)=x+

a

x

．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若a=2，证明函数在（2，+∞）单调增；
（3）对任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范围．

答案

（1）f（x）是奇函数，证明如下：
由题意可得，函数的定义域{x|x≠0}关于原点对称
∵f（-x）=-x-

a

x

=-f（x）
∴f（x）是奇函数；
（2）证明；当a=2时，f（x）=x+

2

x

，∴f′(x)=1-

2

x2

当x＞2时，f′(x)=1-

2

x2

＞0恒成立
∴函数在（2，+∞）单调增；
（3）当a≤0时，f(x)=x+

a

x

在x∈（1，2）单调递增
∴1+a＜f(x)＜2+

a

2

∴1+a≥3
∴a≥2（舍）
当a＞0时，f(x)=x+

a

x

在（0，

解析 相关题目 函数f(x)=x+ax．（1）判断并证明函 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0 定义在R上的函数f（x）满足f(x)= 设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y） 函数y=ln（1+x）（1-x）的单调增区间是_ 已知f(x)=0，x＞0-e 设函数f（x）=1-x2x≤1 已知定义在R上的函数f(x)= 函数f(x)=x2-2x+2 若函数f（x）在（-1，2）上是增函数，且满足f 闽ICP备2021017268号-8