题目

设函数f（x）=

ex

x

，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集．

答案

（1）∵f（x）=

ex

x

∴f′(x)=-

1

x2

ex+

1

x

ex=

x-1

x2

ex
由f"（x）=0，得x=1，
因为当x＜0时，f"（x）＜0；
当0＜x＜1时，f"（x）＜0；当x＞1时，f"（x）＞0；
所以f（x）的单调增区间是：[1，+∝）；单调减区间是：（-∞，0），（0，1]
（2）由f"（x）+k（1-x）f（x）=

x-1+kx-kx2

x2

ex=

(x-1)(-kx+1)

x2

ex＞0，
得：（x-1）（kx-1）＜0，
故：当0＜k＜1时，解集是：{x|1＜x＜

1

k

}；
当k=1时，解集是：φ；
当k＞1时，解集是：{x|

1

k

＜x＜1}．

解析