题目

已知函数f（x）=

x2+1

ax+b

是其定义域内的奇函数，且f（1）=2，
（1）求 f（x）的表达式；
（2）设F（x）=

x

f(x)

（ x＞0 ），求F（1）+F（2）+F（3）+…+F(2007)+F(

1

2

)+F(

1

3

)+…+F(

1

2007

)的值．

答案

（1）∵f(x)=

x2+1

ax+b

是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴

x2+1

-ax+b

=-

x2+1

ax+b

，∴b=0，
故f(x)=

x2+1

ax

，
又∵f（1）=2，∴

2

a

=2，∴a=1
∴f(x)=

x2+1

x

．

（2） 由（1）知F(x)=

x2

x2+1

（x＞0）
∴F(

1

x

)=

( 1 x )2

( 1 x )2+1

=

1

1+x2

∴F(x)+F(

1

x

)=1
∴F(1)+F(2)+F(3)++F(2007)+F(

1

2

)+F(

1

3

)++F(

1

2007

)
=F(1)+[F(2)+F(

1

2

)]+[F(3)+F(

1

3

)]++[F(2007)+F(

1

2007

)]
=

1

2

+2006×1
=

4013

2

．

解析