已知函数f(x)=12ax2+2x，g（x

难度：一般 题型：解答题 来源：江西模拟

题目

已知函数f(x)=

1
2
ax2+2x，g（x）=lnx．
（Ⅰ）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程
g(x)
x
=f′(x)-(2a+1)在区间(
1
e
，e)内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，符合题意．
当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-

2
a
，
由于y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，
所以-
2
a
≤1，解得a≤-2或a＞0，所以a＞0．
当a＜0时，不符合题意．
综上，a的取值范围是a≥0．
（Ⅱ）把方程
g(x)
x
=f′(x)-(2a+1)整理为
lnx
x
=ax+2-(2a+1)，
即为方程ax2+（1-2a）x-lnx=0．
设H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x＞0），
原方程在区间（
1
e
，e）内有且只有两个不相等的实数根，
即为函数H（x）在区间（
1
e
，e）内有且只有两个零点
H′(x)=2ax+(1-2a)-
1
x
=
2ax2+(1-2a)x-1
x
=
(2ax+1)(x-1)
x

令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-
1
2a
（舍）
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．
H（x）在（
1
e
，e）内有且只有两个不相等的零点，
只需

解析

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