题目

已知函数f（x）=

2

x

-x^m，且f（4）=-

7

2

．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

答案

（1）∵f（4）=-

7

2

，
∴

2

4

-4^m=-

7

2

．∴m=1．
（2）f（x）=

2

x

-x在（0，+∞）上单调递减，证明如下：
任取0＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=(

2

x1

-x1)-(

2

x2

-x2)=（x₂-x₁）(

2

x1x2

+1)．
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，

2

x1x2

+1＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）=

2

x

-x在（0，+∞）上单调递减．

解析