题目

已知二次函数y=f（x）（x∈R）的图象过点（0，-3），且f（x）＞0的解集（1，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数y=f(sinx)，x∈[0，

π

2

]的最值．

答案

（1）因为f（x）＞0的解集（1，3），所以二次函数与x轴的交点为（1，0）和（3，0）
则设f（x）=a（x-1）（x-3），又因为函数图象过（0，-3），代入f（x）得：a=-1．
所以f（x）的解析式为f（x）=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3；
（2）由（1）得f（x）=-（x-2）²+1，
所以f（sinx）=-（sinx-2）²+1，
因为x∈[0，

π

2

]，所以sinx∈[0，1]，
由正弦函数和f（x）都在[0，1]上单调递增，
所以x∈[0，1]时，f（sinx）最小值为-3，最大值为0．

解析