题目

某光学仪器厂有一条价值为a万元的激光器生产线，计划通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：
①y与（a-2x）•x²成正比；
②当x=

a

4

时，y=

a3

8

，并且技术改造投入满足

x

a-x

∈(0，t]，其中t为常数且t∈（1，2]．
（I）求y=f（x）表达式及定义域；
（Ⅱ）求技术改造之后，产品增加值的最大值及相应x的值．

答案

（I）设y=k（a-2x）x²．
由x=

a

4

时，y=

a3

8

可得k=4．
所以y=4（a-2x）x²．…（3分）
由0＜

x

a-x

≤t，
解得0＜x≤

at

t+1

．
所以函数f（x）的定义域为(0，

at

t+1

](1＜t≤2)．…（6分）
（II）由（I）知y=-8x³+4ax²，
所以y′=-24x2+8ax=-24x(x-

a

3

)．
令y"=0得x=

a

3

．…（8分）
因为t∈（1，2]，
所以

at

t+1

-

a

3

=

2at-a

3(t+1)

=

a(2t-1)

3(t+1)

＞0，即

at

t+1

＞

a

3

．
当0＜x＜

a

3

时，y"＞0，函数y=f（x）是增函数；
当

a

3

＜x≤

at

t+1

时，y"＜0，函数y=f（x）是减函数．…（11分）
所以当x=

a

3

时，函数y=f（x）取得最大值，且最大值是

4a3

27

．…..（13分）
所以，1＜t≤2时，投入

1

3

a万元最大增加值

4

27

a3万元．…（14分）

解析