题目

已知a≠0，函数，g（x）=﹣ax+1，x∈R．
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间上至少存在一个实数x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，
试求正实数a的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）由求导得，f"（x）=a²x²﹣2ax．
①当a＞0时，由，解得
所以在上递减．
②当a＜0时，由可得
所以在上递减．
综上：当a＞0时，f（x）单调递减区间为；
当a＜0时，f（x）单调递减区间为
（Ⅱ）设．
对F（x）求导，得F"（x）=a²x²﹣2ax+a=a²x²+a（1﹣2x），
因为，a＞0，所以F"（x）=a²x²+a（1﹣2x）＞0，
F（x）在区间上为增函数，则．
依题意，只需F（x）_max＞0，
即，
即a²+6a﹣8＞0，解得或（舍去）．
所以正实数a的取值范围是．

解析