题目

定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax²
（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；
（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=1+x﹣x²=﹣（x﹣ ）²+
  ∴f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，f（x）＜f（0）=1
∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（﹣∞，1）
因此|f（x）|的取值范围是[0，+∞）
∴不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函数．
（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，
则|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即﹣3≤f（x）≤3
∴﹣3≤ax²+x+1≤3
∴ ≤a≤ ，即﹣ ﹣ ≤a≤ ﹣ 在[1，4]上恒成立，
∴（﹣ ﹣ ）_max≤a≤（ ﹣ ）_min，
令t= ，则t∈[ ，1]
设g（t）=﹣4t²﹣t=﹣4（t+ ）2+ ，则当t= 时，g（t）的最大值为﹣
再设h（t）=2t²﹣t=2（t﹣ ）2﹣ ，则当t= 时，h（t）的最大值为﹣
  ∴（﹣ ﹣ ）_max=﹣ ，（ ﹣ ）_min=﹣
  所以，实数a的取值范围是[﹣ ，﹣ ]．

解析