题目

已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ，||||cos²θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点．
（1）求||+||的值，并写出曲线C的方程；
（2）求△APQ面积的最大值．

答案

解：（1）由题意，  设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ
∴|AM|²+|BM|²﹣2|AM||BM|cos2θ=4
∴（|AM|+|BM|）²﹣2|AM||BM|（1+2cos2θ）=4
∴（|AM|+|BM|）²﹣4|AM||BM|cos2θ=4
∵||||cos²θ=3
∴|AM|+|BM|=4
∴||+||=4
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1
∴曲线C的方程为
（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）
由 x=my+1与，
消元可得：（3m²+4）y²+6my﹣9=0
显然，方程①的△＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有
S=×2×|y₁﹣y₂|=|y₁﹣y₂|y₁+y₂=，y₁y₂=
∴（y₁﹣y₂）²=（y₁+y₂）²﹣4y₁y₂=
令t=3m²+3，则t≥3，（y₁﹣y₂）²=
由于函数y=t+在[3，+∞）上是增函数，∴t+≤
故（y₁﹣y₂）²≤9，即S≤3 ∴△APQ的最大值为3，此时直线PQ的方程为x=1

解析