题目

函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对任意x₁，x₂∈D，有：f（x₁·x₂）=f（x₁）+f（x₂），
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+ f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围。

答案

解：（1）令，
有，
解得：f（1）=0；
令，
解得：f（-1）=0；
（2）f（x）为偶函数，
证明如下：令，
∴f（-x）=f（x），
即f（x）为偶函数。
（3）f（4）=1，
∴，
由，
∵f（x）为偶函数，
又f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴，
解得：，
∴x的取值范围为。

解析