题目

已知函数。
（1）求证：函数f(x)在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）当a=时，求函数在[，2)上的最值；
（3）函数f(x)在[1，2]上恒有f(x)≥3成立，求a的取值范围。

答案

（1）证明：
∵，
∴，
∴函数f(x)在（0，+∞）上是单调递增函数。
（2）解：，
由（1）知函数f(x)在（0，+∞）上是单调递增函数，
∴，
∴f(x)的最小值为，此时x=；无最大值。
（3）解：依题意，，即在[1，2]上恒成立，
∵函数在[1，2]上单调递减，∴，
∴，
又a＞0，
∴，即a的取值范围是。

解析