探究函数f(x)=x+4x，x∈（0，+∞
难度：一般
题型：解答题
来源：不详
题目
探究函数f(x)=x+，x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下：
| x |
… |
0.5 |
1 |
1.5 |
1.7 |
1.9 |
2 |
2.1 |
2.2 |
2.3 |
3 |
4 |
5 |
7 |
… |
| y |
… |
8.5 |
5 |
4.17 |
4.05 |
4.005 |
4 |
4.005 |
4.102 |
4.24 |
4.3 |
5 |
5.8 |
7.57 |
… |
请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：
（1）若函数f(x)=x+，（x＞0）在区间（0，2）上递减，则在______上递增；
（2）当x=______时，f(x)=x+，（x＞0）的最小值为______；
（3）试用定义证明f(x)=x+，（x＞0）在区间（0，2）上递减；
（4）函数f(x)=x+，（x＜0）有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？ |
答案
（1）∵f（2.1）=4.005，f（2.2）=4.102，f（2.3）=4.24，f（3）=4.3…
故函数f(x)=x+，（x＞0）在区间（2，+∞）（左端点可以闭）递增；
（2）由表格可知，x=2时，ymin=4 （4分）
（3）设0＜x1＜x2＜2，则
f（x1）-f（x2）=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+(-)
=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)
∵0＜x1＜x2＜2∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4∴＞1∴1-＜0
∴(x1-x2)(1-)＞0即f（x1）-f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在区间（0，2）上递减．
（4）∵f(x)=x+为奇函数，∴当x=-2时有最大值-4． |
解析
