题目

某县位于山区，居民的居住区域大致呈如右图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB=60km，AE=CD=30km，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中P₁、P₂、P₃、P₄是AC的五等分点，则转播台应建在（　　）

A．P1处

B．P2处

C．P3处

D．P4处

答案

以AB为x轴，AE为y轴建立直角坐标系，则A（0，0）、B（60，0）、C（30，30）、D（30，60）、E（0，30），
设点P（x，y），则
f（x，y）=|AP|²+|BP|²+|CP|²+|DP|²+|EP|²
=x²+y²+（x-60）²+y²+（x-30）²+（y-30）²+（x-30）²+（y-60）²+x²+（y-30）²
=5x²+5y²-240x+240y+10800
=5（x-24）²+5（y-24）²+5040．
当x=y=24时，f（x，y）有最小值，此时点P的坐标为（24，24），与点P₁重合．
故选A．

解析