题目

已知是定义在上的奇函数，且当时，．
(Ⅰ)求的表达式；
(Ⅱ)判断并证明函数在区间上的单调性．

答案

（1）；（2）答案见详解

解析

试题分析：（1）此类问题的常规做法就是利用其奇偶性得出关系式，再根据当时，， 代入得表达式；（2）定义法证明或判断函数单调性的步骤：设，则，变形（分解因式或配方等）判断符号，确定单调性.奇函数对称点两边单调性相同.
试题解析： (Ⅰ) ∵是奇函数，∴对定义域内任意的，都有 1分
令得，，即
∴当时， 3分
又当时，，此时 5分
故 7分
(Ⅱ) 解：函数在区间上是减函数，下面给予证明． 8分
设，则10分
∵,∴，即  13分
故函数在区间上是减函数． 14分