题目

已知函数。
（1）讨论的奇偶性；
（2）判断在上的单调性并用定义证明。

答案

（1）不具备奇偶性
（2）在上单调递增

解析

试题分析：解：（1）函数的定义域为关于原点对称。  1分
（1）方法1：， 2分
若，则，无解，不是偶函数 4分
若，则，显然时，为奇函数
综上，当时，为奇函数；当时，不具备奇偶性  6分
方法2：函数的定义域为关于原点对称。  1分
当时，，，，
为奇函数： 4分
当时，，，显然
不具备奇偶性。 6分
（2）函数在上单调递增； 7分
证明：任取且，则
  9分
且，，
从而，故，  11分
在上单调递增。  12分
点评：解决的关键是对于函数奇偶性和单调性概念的准确判定和运用，属于基础题。