题目

(本题满分12分）
设函数（，为常数），且方程有两个实根为.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心.

答案

（Ⅰ）．（II）证明：见解析。

解析

本题考查用待定系数法求函数解析式，函数图象的平移．
（1） 把方程的2个实数根分别代入方程得到方程组，解此方程组求出待定系数，进而得到函数的解析式．
（2）利用2个奇函数的和仍是奇函数，再利用图象平移找出所求函数的对称中心。
解：（Ⅰ）由解得
故．
（II）证明：已知函数，都是奇函数．
所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．
而．
可知，函数的图像沿轴方向向右平移1个单位，再沿轴方向向上平移1个单位,即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．