题目

在自然数集N上定义一个函数y = f (x)，已知f (1) + f (2)=5.当x为奇数时，f (x+1)－f (x)=1，当x为偶数时f (x+1)－f (x)=3.
（1）求证：f (1)，f (3)，f (5)，……，f (2n－1) （n∈N₊）成等差数列.
（2）求f (x)的解析式.

答案

（1）见解析；（2）  .

解析

（1）先构造关于f(1),f(2)的方程，然后根据，即可得证.
（2）讨论x奇数和偶数,分别利用给的两个递推关系即可求出解析式.
解：（1）有
∴
∴是首项为2，公差为4的等差数列
（2）当x为奇数时，
+
当x为偶数时，

=
∴  7’