题目

已知函数的定义域为R，对任意，均有
，且对任意都有。
（1）试证明：函数在R上是单调函数；
（2）判断的奇偶性，并证明。
（3）解不等式。
（4）试求函数在上的值域；

答案

（1）证明略
（2）奇函数，证明略
（3）
（4）

解析

（1）任取，令

 
 ……………………………………………2分

在R上是单调减函数……………………………………………4分
（2）为奇函数，令，有 …………………………5分
令，有 
………………………………………………7分
 ……………………………………………8分
（3） 
 ………………………………………9分
原不等式为： ……………………………………10分
在R上递减，
不等式的解集为 …………………………………11分
（4）由题
  
又

………………………………………………………12分
由（2）知为奇函数，…………………13分
由（1）知，在上递减，
的值域为 …………………………………………14分