题目

（本小题满分10分）定义在R上的函数R) 是奇函数,
（1）求的值;
（2）若函数在区间上有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围.

答案

（1）
（2）

解析

（1） 函数是奇函数, .
, 得.……………4分
（2）由（1）得，令，即. 化简得.  或. 若是方程的根, 则, 此时方程的另一根为1, 不符合题意.
函数在区间上有且仅有两个不同的零点等价于
方程 (※)在区间上有且仅有一个非零的实根.
（1）当时, 得方程(※)的根为, 不符合题意.
（2）当时, 则
①当时, 得. 若, 则方程(※)根为,符合题意;若, 则方程(※)的根为,不合题意. .
② 当时, 令,由 得.. 若, 得,此时方程的根是, , 不符合题意. 综上所求实数的取值范围是 .