题目

已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。

答案

（1）（2）增区间为(3)见解析

解析

（1）时，， 则 ， ∵函数是定义在上的奇函数，即，∴，
即 ，又可知 ，∴函数的解析式为  ，；
（2），∵，，∴，
∵ ，∴，
即 时， 。
猜想在上的单调递增区间为。
（3）时，任取，
∵， ∴在上单调递增，即，即，，
∴，∴，∴当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。