已知f（x）=ax+a-x（a＞0且a≠1）（Ⅰ

难度：简单 题型：单选题 来源：不详

题目

已知f（x）=ax+a-x（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）证明函数f（x）的图象关于y轴对称；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
（Ⅲ）当x∈[1，2]时函数f（x）的最大值为

5
2
，求此时a的值．
（Ⅳ）当x∈[-2，-1]时函数f（x）的最大值为
5
2
，求此时a的值．

答案

（Ⅰ）证明：∵x∈R，f（-x）=a-x+ax=ax+a-x=f（x）…（3分）
∴函数f（x）是偶函数，∴函数f（x）的图象关于y轴对称…（4分）
（Ⅱ）证明：设0＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=ax1+a-x1-(ax2+a-x2)
（1）当a＞1时，
由0＜x1＜x2，则x1+x2＞0，则ax1＞0、ax2＞0、ax1＜ax2、ax1+x2＞1
∴f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）；
（2）当0＜a＜1时，
由0＜x1＜x2，则x1+x2＞0，则ax1＞0、ax2＞0、ax1＞ax2、0＜ax1+x2＜1；
∴f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）；
所以，对于任意a（a＞0且a≠1），f（x）在（0，+∞）上都为增函数．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）在（0，+∞）上为增函数，则当x∈[1，2]时，函数f（x）亦为增函数；
由于函数f（x）的最大值为

5
2
，则f（2）=
5
2

即a2+
1
a2
=
5
2
，解得a=

解析

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