题目

．已知定义在上的奇函数和偶函数满足若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________。

答案

解析

分析：先根据函数奇偶性定义，解出奇函数f（x）和偶函数g（x）的表达式，将这个表达式不等式af（x）+g（2x）≥0，通过变形可得a≥- ，再通过换元，讨论出右边在x∈（0，1]的最大值，可以得出实数a的取值范围．
解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵由f（x）+g（x）=2^x，结合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2^-x，
∴f（x）=（2^x-2^-x），g（x）=（2^x+2^-x）
不等式af（x）+g（2x）≥0，化简为(2^x-2 ^-x)  + (2 ^2x+2^-2x)  ≥0
∵0＜x＜1
∴0＜2^x＜2-2^-x＜1
因此将上面不等式整理，得：a≥-=-
令t=2^x-2^-x，则t＞0
∴-=-(t+)≤ -2
因此，实数a的取值范围是a≥- 2
故答案为[-2，+∞)