题目

已知函数f(x)=2x+

1

2x

．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．

答案

证明：（I）∵∀x∈R
∴-x∈R，
∵f(-x)=2-x+

1

2-x

=

1

2x

+2x=f(x)．
故f（x）为偶函数．
（II）设0＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=2x1+

1

2x1

-2x2-

1

2x2

=（2x1-2x2）（1-

1

2x1+x2

）
∵0＜x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，1-

1

2x1+x2

＞0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．

解析