已知函数f(x)=2x-a2x（a∈R），
难度：一般
题型：解答题
来源：不详
题目
已知函数f(x)=2x-（a∈R），将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到函数y=g（x）的图象，函数y=h（x）与函数y=g（x）的图象关于直线y=1对称．
（Ⅰ）求函数y=g（x）和y=h（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=a在x∈[0，1]上有且仅有一个实根，求a的取值范围；
（Ⅲ）设F（x）=f（x）+h（x），已知F（x）＞2+3a对任意的x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围． |
答案
（Ⅰ）由题意可得g(x)=f(x-2)=2x-2-．
设y=h（x）的图象上一点P（x，y），点P（x，y）关于y=1的对称点为Q（x，2-y），
由点Q在y=g（x）的图象上，所以2x-2-=2-y，
于是y=2-2x-2+，即h(x)=2-2x-2+．
（Ⅱ）设t=2x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．
由2x-=a得t-=a，即t2-at-a=0在t∈[1，2]上有且仅有一个实根．
设k（t）=t2-at-a，对称轴t=．
若k（1）=0，则a=，两根为t1=1，t2=-．适合题意；
若k（2）=0，则a=，两根为t1=2，t2=-．适合题意．
若在（1，2）内有且仅有一个实根，则k（1）•k（2）＜0①或 |
