题目

已知函数f（x）=lnx-ax²-bx（a，b∈R），g（x）=

2x-2

x+1

-lnx
（I）当a=-1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反，求b的取值范围；
（II）设x₁，x₂是函数y=f（x）的两个零点，且x₁＜x₂求证

2

x1+x2

＜a（x₁+x₂）+b．

答案

（I）∵a=-1，∴f（x）=lnx+x²-bx
由题意可知，f（x）与g（x）的定义域均为（0，+∞）
∵g′（x）=

2(x+1)-(2x-2)

(x+1)2

-

1

x

4

(x+1)2

-

1

x

=

-x2+2x-1

x(x+1)2

=-

(x-1)2

x(x+1)2

≤ 0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减
又a=-1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反
∴f（x）=lnx-ax²-bx在（0，+∞）上单调递增
∴f′（x）=

1

x

+2x-b≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，
即b≤

1

x

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（

1

x

+2x）max，
∵x＞0∴

1

x

+2x≥2

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