若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称．
（Ⅰ）已知函数f(x)=

x2+mx+m
x
的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；
（Ⅱ）已知函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x2+ax+1，求函数g（x）在（-∞，0）上的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，当t＞0时，若对任意实数x∈（-∞，0），恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）由题设，∵函数f(x)=

x2+mx+m
x
的图象关于点（0，1）对称，
∴f（x）+f（-x）=2，
∴
x2+mx+m
x
+
x2-mx+m
-x
=2
∴m=1…（4分）
（Ⅱ）∵函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，
∴g（x）+g（-x）=2，
∵当x∈（0，+∞）时，g（x）=x2+ax+1，
∴当x＜0时，g（x）=2-g（-x）=-x2+ax+1…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得f(t)=t+
1
t
+1(t＞0)，其最小值为f（1）=3
g(x)=-x2+ax+1=-(x-
a
2
)2+1+
a2
4
，…（10分）
①当
a
2
＜0，即a＜0时，g(x)max=1+
a2
4
＜3，∴a∈(-2

解析

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