题目
(1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)-2h(x),求p(t)的解析式;
(2)若p(t)≥m2-2m对于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范围.
答案
则有f(-x)=g(-x)+h(-x),即f(-x)=g(x)-h(x)②,
由①②解得g(x)=
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∵f(x)定义在R上,∴g(x),h(x)都定义在R上.
∵g(-x)=
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∴g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,
∵f(x)=2x+1,
∴g(x)=
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h(x)=
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由2x-2-x=t,则t∈R,
平方得t2=(2x-2-x)2=22x-2-2x-2,
∴g(2x)=22x+2-2x=t2+2,
∴p(t)=t2-2t+2.
(2)∵t=h(x)关于x∈[1,2]单调递增,
∴
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∴p(t)=t2-2t+2≥m2-2m对于t∈[
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∴m2-2m≤(t-1)2+1对于t∈[
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令φ(t)=(t-1)2+1,则∵t∈[
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φ(t)min=φ(
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∴m2-2m≤
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解得-
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