题目

已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，． （Ⅰ）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有实数解？

答案

（Ⅰ）解：∵f（x）是x∈R上的奇函数，∴f（0）=0.
设x∈（﹣1，0），则﹣x∈（0，1），==﹣f（x）
∴
∴
（Ⅱ）证明：设0＜x₁＜x₂＜1，则，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴，，
∴f（x₁）﹣f（x₂）＞0
∴f（x）在（0，1）上为减函数．
（Ⅲ）解：∵f（x）在（0，1）上为减函数，
∴f（1）＜f（x）＜f（0）即
同理，f（x）在（﹣1，0）上时，f（x）
又f（0）=0
当或或λ=0时方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有实数解．

解析