题目

设函数f（x）定义域为R，对一切x、y∈R，均满足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=3，f(

π

2

)=4，
（1）求f（π）的值；
（2）求证：f（x）为周期函数，并求出其一个周期；
（3）求函数f（x）解析式．

答案

（1）令x=y=

π

2

，则由原式得：f（π）+f（0）=2f（

π

2

）cos

π

2

=0
∴f（π）=-f（0）=-3
证明：（2）f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中用

π

2

替换y，得f（x+

π

2

（4））+f（x-

π

2

（5））=2f（x）cos

π

2

（6）=0①
∴f（x-

π

2

）=-f（x+

π

2

）=-f[（x-

π

2

）+π]
由x-

π

2

的任意性知，对任意x∈R，均有：f（x）=-f（x+π）②
∴f（x+2π）=f[（x+π）+π]=-f（x+π）=-[-f（x）]=f（x）
∴f（x）为周期函数，且2π为其一个周期．
（3）f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中用

π

2

替换x，用x替换y，得：f（

π

2

+x）+f（

π

2

-x）=2f（

π

2

）cosx=8cosx
由②知：f（

π

2

-x）=-f[（

π

2

-x）-π]=-f[-（

π

2

+x）]
∴f（

π

2

+x）-f[-（

π

2

+x）]=8cosx
用x替换

π

2

+x，得：f（x）-f（-x）=8cos（x-

π

2

）=8sinx③
f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中取x=0，用x替换y，得：f（x）+f（-x）=2f（0）cosx=6cosx④
从而可得，f（x）=4sinx+3cosx

解析