题目

已知函数（）．
（1）若的定义域和值域均是，求实数的值；
（2）若对任意的，，总有，求实数的取值范围．

答案

（1）；（2）

解析

试题分析：（1）求出二次函数的对称轴是关键.通过对称轴知道函数f(x)在上单调递减.在结合已知条件即可得两个等式.求出结论.
（2）条件表示的含义是函数f(x)在上的最大值与最小值的差小于或等于4.因为函数f(x)的对称轴为.所以要将的值分两类.再根据单调性即可求得的范围.本题的函数的背景是二次函数所以抓住对称轴展开研究函数的最值单调性.同时分类的思想是解题的关键.
试题解析：（1）因为.所以f(x)在是减函数，又定义域和值域为所以.即.解得.
（2）若.又，且.所以..因为对任意的.总有.所以.即.解得.又.所以.若...显然成立.综上.