题目

已知二次函数满足且.
（Ⅰ）求的解析式.（Ⅱ）在区间上, 的图象恒在的图象上方 试确定实数的范围.

答案

（Ⅰ）f(x)=x²-x+1. （Ⅱ）m<-1.

解析

 本试题主要是考查了函数的性质和函数的解析式的运用
（1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,
（2）由题意得x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x²-3x+1-m>0在[-1, 1]上恒成立.
设g(x)= x²-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x) 在[-1,1]上递减.
那么可得。
解： (Ⅰ)设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,所以,∴f(x)=x²-x+1.
(Ⅱ)由题意得x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x²-3x+1-m>0在[-1, 1]上恒成立.
设g(x)= x²-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x) 在[-1,1]上递减.
故只需g(1)>0,即1²-3×1+1-m>0,解得m<-1.