题目

（本小题满分14分）
　　已知：函数（），．
　　（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；
　　（2）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；
　　（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得不等式和都成立，则称直线为函数与的“分界线”。设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

答案

（1）
（2）
（3）所求“分界线”方程为：．

解析

解：
　　（1）因为，所以，令
　　　　 得：，此时，
　　　　 则点到直线的距离为，
　　　　 即，解之得或．　
　　　　 经检验知，为增解不合题意，故
　　（2）法一：不等式的解集中的整数恰有3个，
　　　　 　　　等价于恰有三个整数解，故，
　　　　 　　　令，由且，
　　　　 　　　所以函数的一个零点在区间，
　　　　 　　　则另一个零点一定在区间，
　　　　 　　　故解之得．
　　　　 法二：恰有三个整数解，故，即，
　　　　　　　 ，
　　　　　　 　所以，又因为，
　　　　　　 　所以，解之得．
　　（3）设，则．
　　　　 所以当时，；当时，．
　　　　 因此时，取得最小值，
　　　　 则与的图象在处有公共点．　　　　　　　
　　　　 设与存在 “分界线”，方程为，
　　　　 即，
　 由在恒成立，则在恒成立 ．
　 所以成立，因此．
　　　　 下面证明恒成立．
　　　　 设，则．
　　　　 所以当时，；当时，．
　　　　 因此时取得最大值，则成立．
　　　　 故所求“分界线”方程为：．