题目

已知函数是奇函数（a＞0， 且a≠1）。
（1）求m的值；
（2）判断f(x)在区间(1，+∞)上的单调性并加以证明；
（3）当a＞1，x∈(r，a-2)时，f(x)的值域是(1，+∞)，求a与r的值。

答案

解：（1）由是奇函数，得f(-x)=-f(x)，
即log_a+log_a=0，
∴log_a=0，解得：m=-1（m=1舍去）。
（2）由（1）得，(a＞0，a≠1)，
任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
令t(x)=， 则，
∵x₁＞1，x₂＞1，x₁＜x₂，
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴t(x₁)＞t(x₂)，
∴当a＞1时，，f(x)在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜1时，f(x)在（1，+∞）上是增函数。
（3）当a＞1时，要使f(x)的值域是（1，+∞），则＞1，即＞a，
从而，
又＞1，即＞0，解得：x＞1，
∴1＜x＜，
∴，∴r=1，a=2+。

解析