题目

(本小题13分)已知函数f(x)＝－ (a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．

答案

(1)证明：见解析；(2) a＝.

解析

本事主要是考查了函数的单调性和函数值域的求解的综合运用。
（1）先分析函数的定义域内任意两个变量，代入函数解析式中作差，然后变形定号，下结论。
（2）∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，那么可知又f(x)在[，2]上单调递增，可知最大值和最小值在端点值取得求解得到参数a的值。
解：(1)证明：设x₂>x₁>0，则x₂－x₁>0，x₁x₂>0.
∵f(x₂)－f(x₁)＝(－)－(－)＝－
＝>0，
∴f(x₂)>f(x₁)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．………………6分
(2)∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，
又f(x)在[，2]上单调递增，∴f()＝，f(2)＝2，
易得a＝.  ………………13分