题目

（本小题满分12分）已知函数，且 
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）判断在上的单调性，并证明；
（3）若，求的取值范围。

答案

(1) 为奇函数，见解析；（2）在上的单调递增，证明：见解析；
（3）。

解析

本试题主要是考查了函数奇偶性和函数的单调性的综合运用。
（1），且
∴ ，解得 ，根据奇偶性的定义得到奇函数的证明。
(2) ∵ ，由（2）知在上的单调递增
又，即，所以可知
又由的对称性可知 时，同样成立，命题得证。
解 ∵ ，且
∴ ，解得 …………………1分
(1) 为奇函数，…………………………………..2分
证：∵ ，定义域为，关于原点对称………………..3分
又
所以为奇函数………………………………4分
（2）在上的单调递增………………………………..5分
证明：设，
则……………………7分
∵
∴  ，
故，即，在上的单调递增  …………9分
（3）解法一
若 ，即，显然 ，
化简得，解得………………………..12分
解法二、∵ ，由（2）知在上的单调递增
又，即，所以可知
又由的对称性可知 时，同样成立 ∴