题目

（本题满分14分）
已知定义域为的函数是奇函数.
（Ⅰ）求的值；  （Ⅱ）判断函数的单调性;
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．

答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）在上为减函数. （Ⅲ）

解析

（Ｉ）可根据f(0)=0,建立关于b的方程，求出b的值．
（ＩＩ）由（Ⅰ）知，然后再利用单调性定义：第一步取值，作差并判断差值符号，下结论三个步取来判断．
(III)由（ＩＩ）知f(x)在Ｒ上是增函数，所以等价于,再利用单调性可转化为关于t的不等式恒成立问题来解决．
（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，
即………………………..3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设则
因为函数y=2在R上是增函数且 ∴>0
又>0 ∴>0即
∴在上为减函数. ……………7分
（Ⅲ）因是奇函数，从而不等式：
等价于，………….9分
因为减函数，由上式推得：．即对一切有：
，  ………………….12分
从而判别式 ……….14分