题目

已知函数f(x)＝3x＋2，x∈[－1,2]，证明该函数的单调性并求出其最大值和最小值．

答案

见解析。最小值是－1，最大值是8.

解析

利用函数的单调性的定义证明来证明单调性，第一步取值（在所证区间取两个不同的值），第二步作差比较函数值差的符合，第三步得出结论.
设x₁，x₂是区间[－1,2]上的任意两个实数，且x₁<x₂，则
f(x₁)－f(x₂)＝3x₁＋2－3x₂－2＝3(x₁－x₂)．
由x₁<x₂，得x₁－x₂<0，
于是f(x₁)－f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)．
所以，函数f(x)＝3x＋2是区间[－1,2]上的增函数．
因此，函数f(x)＝3x＋2在区间[－1,2]的两个端点上分别取得最小值与最大值，即在
x＝－1时取得最小值，最小值是－1，在x＝2时取得最大值，最大值是8.