题目

已知函数
（Ⅰ）判断f(x)在上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ）若集合A="{y" | y=f(x)，}，B=[0,1]， 试判断A与B的关系；
（Ⅲ）若存在实数a、b(a<b)，使得集合{y | y=f(x)，a≤x≤b}=[ma，mb]，求非零实数m的取值范围.

答案

（Ⅰ）f(x)在上为增函数.证明见解析（Ⅱ）A=B.（Ⅲ）

解析

本题考查了函数单调性的定义，并结合着函数性质对区间进行分类讨论，并求解．分类讨论在高中范围内仍是很重要的一类思想，在高考中也是经常考查到的思想．
（1）由函数单调性的定义出发，给出证明．
（2）由x的范围算出f（x）的值域．再讲两个集合A和B进行比较．
（3）由前面单调性及函数特征的分析可知，0和1作为分类讨论的两个分界点分别讨论．
解：（1）f(x)在上为增函数.
∵x≥1时，f(x)=1－对任意的x₁，x₂，当1≤x₁<x₂时
f(x₁)－ f(x₂)=(1－)－(1－)=
∵x₁x₂>0，x₁－x₂<0  ∴  ∴f(x₁)< f(x₂)
∴f(x)在上为增函数.
（2）证明f(x)在上单调递减，[1，2]上单调递增, 求出A=[0，1]说明A=B.
（3）∵a<b，ma<mb，∴m>0 ∵f(x)≥0, ∴ma≥0，又a≠0，∴a>0 
1° 0<a<b≤1，由图象知，f(x)当x[a，b]递减，
∴与a<b矛盾
2° 0<a<1<b，这时f(1)=0，则ma=0,而ma>0 这亦与题设不符；
3° 1≤a<b，f(x)当x[a,b]递增
可知mx²-x+1=0在内有两不等实根
由 ，得
综上可知