题目

已知函数在与时都取得极值．若对，不等式恒成立，则的取值范围是(   )

A．

B．

C．

D．

答案

C

解析

选C
分析：求出f′（x），因为函数在与x=1时都取得极值，所以得到f′（-）=0，且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），根据函数的单调性，由于x∈[-1，2]恒成立，只需求出最大值，然后令最大值＜2c，即可求出c的范围．
解答：解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f’（x）=3x²+2ax+b
由，解得，．
代回原函数得，f（x）=x³-x²-2x+c，f’（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

x	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以函数f（x）的递增区间是（-1，-）和（1，2]，递减区间是（-，1）．
当x=-时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，f（-1）=+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜2c，对x∈[-1，2]恒成立，须且只需2+c＜2c．
解得c＞2．
故选C．