题目

函数的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任意实数，在定义域中存在使，，且满足以下3个条件。
（1）是定义域中的数，，则
（2），（是一个正的常数）
（3）当时，。
证明：（1）是奇函数；
（2）是周期函数，并求出其周期；
（3）在内为减函数。

答案

证：（1）对定义域中的，由题设知在定义域中存在
使，，
则
∴为奇函数
（2）因，∴，于是

若，则

若，则



仍有。
∴为周期函数，是它的一个周期。
（3）先证在内为减函数，事实上，设，
则，则
（当时，）。

所以
当时，
，于是


即在内，也是减函数，从而命题得证。

解析

略